2mal2 plus Spaß dabei

Die unter 4.1 vorgestellten Würfeltafeln sind vielfach anwendbar. Somit verbinden sie auch mehrere Unterrichtsthemen in der siebenten Klasse, wofür sie auch angewendet werden sollten. Damit erreicht man die Erkennung der Parallelität in der Mathematik und macht schon früh Zusammenhänge deutlich. Gerade das Verstehen der engen Beziehungen zwischen Bruch-, Anteils- und Prozentrechnung sind nicht nur für spätere Problemstellungen wichtig, sondern besonders auch für die Vorstellung und Assoziation der gegebenen Sachverhalte sehr förderlich. Aus diesem Grunde empfehlen wir, die oben genannten drei Unterrichtsthemen zeitnah zueinander und zusammengehörig zu lehren.
Des Weiteren ist ein Bezug zwischen der Mathematik und dem Alltag des Lebens unbedingt herzustellen, um einerseits die Motivation des Themengebietes zu steigern und andererseits das Thema nicht so trocken erscheinen zu lassen. Die Schüler sollen immer wieder erfahren, dass Mathematik nicht „sinnloses hochtrabendes Zeug“ ist, sondern uns Menschen täglich umgibt. Es folgt ein kleines Beispiel, um diesen Bezug herzustellen. Die Mathematikstunde beginnt und der unterrichtende Lehrer schreibt die neue Überschrift an die Tafel: „Anteils- und Prozentrechnung“. Ein Stöhnen geht durch die Reihen und viele Augen rollen.

Unterrichtender:	„Was ist denn an diesem Thema so schlimm, dass ihr solche Abneigungen dazu äußert?“
Frederick:	„Ach, ich habe schon so viel Schlimmes darüber gehört!“
Unterrichtender:	„Na, das hat ja noch nichts zu sagen und auch nichts mit dir zu tun!“
Moritz:	„Ich verstehe das sowieso nicht!“
Unterrichtender:	„Das wird sich in den nächsten Stunden ändern!“
Emma:	„Ich kann damit nicht umgehen! – Ich konnte das schon damals bei den Brüchen nicht!“
Unterrichtender:	„Max, wann ist die Stunde heute zu Ende?“
Max:	„Dreiviertel neun!“
Unterrichtender:	„Stimmt das, Emma?“
Emma:	„Ja.“
Unterrichtender:	„Na, dann kannst du ja mit Anteilen und Brüchen doch schon umgehen!“

Der Einstieg in das neue Themengebiet lässt sich durch das Aufgreifen alter beziehungsweise bekannter Themen gut realisieren. Die Würfel sind unterschiedlich markiert, sodass die Anteilsberechnung der verschiedenfarbigen Würfel ein einfacher mit wenig Aufwand einhergehender Themenstart ist. Dabei ist es sinnvoll, zunächst die Tafeln mit den 100 Würfeln zu benutzen, um den Übergang zum Prozentsatz („pro hundert“ heißt soviel wie „durch hundert“) zu erleichtern. Weitere Aufgaben, denen der geeignete Grundwert 100 zu Grunde liegt, sind gegebenenfalls zu ergänzen. Damit sollte der Begriff des Prozentwertes schriftlich in den Heftern der Kinder geklärt sein (siehe Hefterausschnitt, Abbildung. 3). Als nächstes sollte der Begriff des Grundwertes erklärt werden, wofür die zweite Tafel mit den 25 Würfeln zur Anwendung kommt. Auch an dieser sind die Prozentwerte der einzelnen Farbanteile zu bestimmen, nun aber mit anderem Grundwert, der damit auch gleich definiert werden sollte (siehe Hefterausschnitt, Abbildung 3). Je nach Verständnis der Schüler sollten weitere Grundwertänderungen vorgenommen werden. Beispielsweise können 33 Würfel der 100er Tafel entnommen werden, und auf die Schultafel gesetzt werden. Das funktioniert ganz leicht, indem man mit den Metallstäben durch die Löcher der Würfel „sticht“ und damit gleich zehn Würfel gleichzeitig der Tafel entnimmt. Praktischerweise heften die Würfel durch ihre magnetische Unterseite auch auf der Tafel des Klassenraumes, sodass an dieser schnell ein weiteres „Würfelfeld“ entstehen kann. Anhand des Grundwertes 33 ist zu verdeutlichen, dass man ohne Weiteres den Prozentsatz und Grundwert erweitern kann, was gleichzeitig die „Brücke“ zum Erweitern von Brüchen darstellt. Erweitert man nun die 33 mit drei, so erhält man den Grundwert 99, der fast dem Grundwert 100 entspricht und damit leichtes Bestimmen der gesuchten Prozentsätze nach sich zieht. Ein ähnliches Vorgehen kann auch durch die zweite Tafel (à 25 Würfeln) erreicht werden, in dem man hier mit vier erweitert. Diese Methoden helfen den Schülern, sich die Zahlen und Werte vorzustellen und nicht durch sinnlosen Benutz des Taschenrechners Ergebnisse zu erzielen, die keine Bedeutung spielen und ausschließlich und gedankenlos vom Display abgeschrieben werden. Außerdem schulen solche Übungen das Näherungs- und Schätzungsvermögen der Schüler, welche häufig Anwendung in der Mathematik finden. Es ist auch zu empfehlen, die gestellten Aufgaben mit unschönen oder schwer bestimmbaren Ergebnissen zunächst von den Schülern abschätzen zu lassen. Es ist nicht notwendig, die Würfel sortiert und in „Reihe und Glied“ an der Tafel zu postieren, denn durch das Abzählen und Schätzen der Würfelanteile, wird der Unterricht aufgelockert, kinderfreundlich und spaßmachend gestaltet. Um unnötigen Fragen der Schüler aus dem Wege zu gehen, sollten Sie die Frage der Rundungen der Dezimalzahlen recht früh schon klären. Es kommt nicht selten plötzlich und unerwartet vor, dass auch einfache Problemstellungen viele Nachkommastellungen aufweisen. Darum sollte den Schülern schon früh nahe gebracht werden, dass es bei den Würfeln und Ergebnissen, die in deren Zusammenhang stehen, unnötig ist, mehr als eine Nachkommastelle zu errechnen. Andererseits sollte bei Textaufgaben aus der Pharmaindustrie, in denen es um Konzentrationen von Medikamenten geht, darauf hingewiesen werden, dass die Genauigkeit auf Tausendstel relevant ist. Eine weitere Stütze zum Verständnis der Prozentproblematik entsteht durch das Aufstellen ähnlicher Aufgaben, deren Zusammenhang Weiteres verdeutlicht (siehe Abbildung 4).
Es ist den Schülern hilfreich, Themen und Sachverhalte von unterschiedlichen Positionen und in unterschiedlicher Art und Weise zu erklären, was nicht zuletzt auch durch Schüler geschehen kann, die ihren Mitschülern auf die Sprünge helfen, denn jeder Schüler ist anders und braucht seine eigenen Wege und Methoden um ein Thema zu verstehen. Ein schönes Beispiel dafür ist der „Übergang“ von Dezimalzahl in Prozentsatz. Da gibt es die Möglichkeit, eine Dezimalzahl als Bruch umzuschreiben, wobei der Nenner 100 ist. Das ist eine eigentlich gängige und schon bekannte Darstellungsart einer Zahl. Davon ausgehend kann man nach dem Wissen, dass das Prozentzeichen für „durch hundert“ steht, den Nenner samt Bruchstrich mit dem % „ersetzen“. Das gleiche lässt sich durch die Logik erklären, dass wenn man hinter eine Zahl das Prozentzeichen setzen will, das „durch hundert“ heißt, muss man gleichzeitig die Zahl mit hundert multiplizieren, um den gleichen Wert beizubehalten. Eine weitere Möglichkeit ist das Erweitern und Kürzen, bis man den Bruch oder die Zahl so „zurecht gemacht“ hat, dass sich ohne weiteres ein Protzentsatz ergibt. Wichtig ist, dass die Geduld des Unterrichtenden so weit reicht, um nicht feste Formeln zu definieren und auswendig lernen zu lassen!

Weiteres Anwendungsgebiet:
Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Ein weiteres Anwendungsgebiet, in welchem die Würfel als Anschauungsmaterial verwendet werden können ist die Stochastik. Zum Beispiel:

• Dadurch, dass die einzelnen Würfel auch an der Schultafel halten, können in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Bäume gut erklärt bzw. anschaulich dargestellt wer-den. Sie können in den ersten Stunden dazu beitragen, dass die Schüler mit den Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumes nicht durcheinander kommen. So hängt an jedem Ast ein Würfel mit der zugehörigen Farbe.
• Die Würfel können auch zum Einstieg verdeckt gezogen und die Wahrschein-lichkeit nach Farben ausgerechnet werden. Der Unterricht wird durch ein kleines „Einstiegsspiel“ lebhafter und eine zeitraubende Aufgabe, wie 50 Würfelrunden mit einem Spielwürfel könnte gegebenenfalls ersetzt werden.
• Um verschiedene Wahrscheinlichkeiten noch einmal zu erläutern, kann auch mit einem der farbigen Würfel gewürfelt werden, wobei die Wahrscheinlichkeiten der Seite, die nach oben zeigt „erwürfelt“ werden (Farbe, Magnet, Loch). Natürlich ist das Ergebnis durch den Magneten leicht verfälscht, aber Ausnahmen bestätigen die Regel. Der Unterschied zwischen Realität und Berechnung des Idealfalls kann somit gezeigt werden.